فروشگاه اینترنتی فایل ها این وبلاگ در زمینه فروش انواع مختلف فایل های آموزشی تحصیلی و دانشگاهی فعالیت می نماید

بررسي اثر کازيمير با در نظرگرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود ديراک word

فهرست مطالب

فهرست مطالبهشت

چكيده1

پيش گفتار2

0-1 پيدايش اثر كازيمير. 2

0-2 هدف كلي.. 3

0-3 محتواي پايان نامه. 4

فصل اولمقدمه7

1-1 تاريخچه و مفهوم خلاء کوانتومي.. 7

1-2 نيروهاي وان در والس.... 8

1-3 مفهوم نيروي کازيمير. 10

1-4 نيروي کازيمير. 11

1-5 رهيافت هاي نيروي کازيمير. 11

1-5-1 رهيافت انرژي نقطه صفر. 12

1-5-2 رهيافت فشار تابشي نقطه صفر. 13

1-6 نيروي کازيمير و شرايط مرزي.. 14

1-7 درک شهودي مقادير نيروي کازيمير. 14

1-8 نيروي کازيمير و هندسه اجسام. 15

1-9 اندازه گيري اثر کازيمير. 16

1-10 نيروهاي کازيمير و افت و خيزها18

1-10-1 نيروهاي مربوط به افت و خيزهاي کوانتومي.. 18

1-10-2 نيروي کازيمير مربوط به افت و خيزهاي گرمايي.. 20

1-11 معرفي اثر ديناميک کازيمير. 20

 

1-11-1 اثر ديناميک کازيمير و شرايط مرزي.. 21

1-11-2 اثر ديناميک کازيمير و شکل سطح مرزها22

1-11-3 آزمايش هايي در مورد اثر ديناميک کازيمير. 22

1-12 مانسته اثر کازيمير در فيزيک کلاسيک.... 23

1-13 نقش اثر کازيمير در شاخه هاي مختلف فيزيک.... 23

فصل دوم کوانتش ميدان هاي اسکالرو الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک... 25

مقدمه. 25

2-1 معرفي دستگاه هاي مقيد. 26

2-1-1 دستگاه هاي تکين و قيود. 26

2-1- 2 قيود نوع اول و نوع دوم. 29

2-1-3 کروشه ديراک.... 30

2-2 کوانتش سيستم هاي مقيد. 30

2-3 کوانتش ميدان کلين گوردون در حجم محدود با استفاده از قيود ديراک 32

2-3-1 حل معادله ميدان کلين گوردون. 32

2-3-2 کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت... 33

2-3-3 محاسبه ميدان کلين گوردون با شرط مرزي نويمان. 37

2-4 کوانتش ميدان الکترومغناطيس با استفاده از قيود ديراک در حجم محدود 37

2-4-1 اصول کار. 37

2-4-2 کوانتش ميدان الکترومغناطيسي.. 38

2-4-3 تعريف شرايط مرزي و محاسبه قيود. 39

2-4-4 اعمال قيود بر بسط مولفه هاي ميدان. 41

فصل سومخلاء الکترومغناطيسي.. 42

3-1 معرفي.. 43

3-2 نوسانگر هارمونيک.... 43

3-3 رابطه مدهاي ميدان و نوسانگر هارمونيک.... 45

3-4 کوانتش مدهاي ميدان. 46

3-5 ميدان در فضاي آزاد. 47

3-6 ضرورت ميدان خلاء. 49

3-7 اثر کازيمير. 50

فصل چهارمنيروي کازيمير براي ميدان هاي اسکالر و الکترومغناطيس.. 54

4-1 ميدان اسکالر کوانتيده در فاصله محدود. 55

 

4-1-1 منظم سازي ميدان اسکالر با تابع نمايي.. 56

4-1-2 منظم سازي ميدان اسکالر با تابعی دیگر. 58

4-2 نيروي کازيمير براي ميدان الکترو مغناطيس.... 59

4-2-1 صفحات رساناي موازي.. 59

4-2-2 به دست آوردن نيروي کازيمير ميدان الکترو مغناطيسيبا استفاده از روش بررسي سازگاري قيود 62

4-3 فشار تابشي خلاء:توضيح فيزيکي نيروي کازيمير. 66

فصل پنجم نيروي کازيمير براي يک ريسمان باز68

5-1 ريسمان باز در حضور ميدان مغناطيسي B.. 69

5-2 معادلات ميدان، شرايط مرزي و قيود ريسمان. 70

5-3 انرژي نقطه صفر ريسمان. 75

5-4 منظم سازي انرژي نقطه صفر و محاسبه نيروي کازيمير. 76

5-5 حالت کلي ديگر. 77

5-6 نتيجه گيري.. 78

مراجع. 79

چكيده

هدف اصلي اين پايان نامه پيوند بين دو مبحث دستگاههاي مقيد و اثر كازيمير مي باشد. نقطه مشترك اين دو مبحث مهم را مي توان در شرايط مرزي يافت.در اين تحقيق برای به دست آوردن نیروی کازیمیر ميدان هاي كلين گوردون، الكترومغناطيس و ريسمان باز، از روش كوانتش سيستم هاي مقيد با در نظر گرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود استفاده شده است. براي اين منظور پس از محاسبه سازگاري قيود مذكور با هاميلتوني کل و اعمال زنجيره کامل قيود بر بسط فوريه مولفه هاي ميدان مد هاي غير فيزيکي حذف شده و به فضاي فاز کاهش يافت دست مي يابيم. سپس با تبديل كروشه ديراك مدهاي باقي مانده به جابه جا گر، سيستم را كوانتومي مي کنيم و عملگر انرژي را بر حسب مدهايي فيزيکي بيان مي کنيم. منشا اثر کازيمير در مقايسه مدهاي حاضر در عملگر انرژي دستگاه داراي شرايط مرزي با دستگاه بدون مرز است. به بيان ديگر نشان مي دهيم که اعمال قيود ناشي از شرايط مرزي منجر به حذف برخي از مدها و ظهور نيروي کازيمير مي شود.

کلمات کلیدی:اثرکازیمیر، دستگاه های مقید، شرایط مرزی، کروشه دیراک.

مقدمه

در اين فصل به بررسي انرژي نقطه صفر خلاء مي پردازيم.دراين فصل به تاريخچه و مفهوم خلا كوانتومي، پيدايش نيروهاي وان در والس و در نتيجه ايجاد نيروي كازيمير پرداخته ايمو نشان داده ايم كه نيروهاي وان در والس را مي توان به انرژي نقطه صفر ربط داد. سپس به مفهوم نيروي كازيمير با استفاده از تغيير خلاء كوانتومي و نوسانات خلاء و بحث فشار تابش ميدان پرداخته ايم و نشان داده ايم كه ميدان الكترومغناطيسي كوانتومي داراي انرژي نقطه صفر است و منشاء نيروي كازيمير، انرژي نقطه صفر مي باشد.

در بخش پنجم اين فصل رهيافت هاي نيروي كازيمير كه شامل رهيافت انرژي نقطه صفر و رهيافت فشار تابشي نقطه صفر است را مورد بررسي قرار داده و در هر دو رهيافت پس از بررسي اختلاف آنها (چه انرژي و چه فشار تابشي) به نيروي كازيمير رسيده ايم.

در بخش ششم اين فصل وابستگي شديد نيروي كازيمير به شرايط مرزي را همراه با مطالعاتي كه در اين زمينه انجام شده است قيد كرده ايم. در بخش هاي بعدي درك شهودي مقادیر كازيمير را با همراه با چند مورد كاربردي آن و سپس اندازه گيري تجربي آن را كه توسط فيزيك دانان تجربي بسياري انجام شده است

 ذكر كرده ايم .در بخش دهم نيروهاي كازيميري كه مربوط به دو نوع افت و خيزهاي گرمايي و افت و خيزهاي كوانتومي مي شود را همراه با مطالعات و مقالات مربوط به اين مورد توضيح داده ايم.

در بخش بعدي به مبحث مهم اثر ديناميك كازيمير در سه قسمت وابستگي اثر ديناميك كازيميرهمچون اثر ‌استاتيك كازيمير به شرايط مرزي ، وابستگي آن به شكل سطح مرزها و اندازه گيري هاي تجربي اين اثر مي پردازيم. در هر سه مورد فوق براي اثر ديناميك كازيمير محاسبات و آزمايشهاي گوناگوني را كه انجام شده است را ذكر كرده ايم.

در بخش دوازدهم اين فصل مانسته اثر كازيمير در فيزيك كلاسيك و در بخش پاياني اين فصل نقش اثر كازيمير را در شاخه هاي مختلف فيزيك از جمله نظريه ميدان كوانتومي ، فيزيك ماده چگال ،‌ فيزيك اتمي،‌ فيزيك مولكولي، كيهان شناسي و رياضي فيزيك قيد مي كنيم.

 1-1 تاريخچه و مفهوم خلاء کوانتومي

بررسي هاي پلانک براي توجيه قوانين تابش جسم سياه که در سال 1890 آغاز شده بود نهايتاً او را به مفهوم گسستگي انرژي هدايت کرد. مفهوم انرژي نقطه صفر نيز به گونه اي به دنبال آن آمد. پلانک در سال 1900 اولين قانون خود را به صورت:

(1-1)

به دست آورد. در رابطه بالا U انرژي ميانگين يک تابش کننده با بسامد ν است که در تماس با منبع گرمايي به دماي T مي باشد. پلانک در سال 1912 دومين نظريه خود را ارائه کرد که در آن صراحتاً جذب انرژي توسط نوسان گر فرايندي کلاسيک بود ولي گسيل تابش به صورت بسته هاي انرژي و به طور گسسته بود. در اين تئوري يک نوسانگر، موقعي مي تواند تابش کند که به اندازه hν انرژي جذب کرده باشد. دومين قانون پلانک:

(1-2)

بود.اين رابطه در حد دماهاي بالا درست است و در حدنيز نتيجه مي دهد:

(1-3)

در واقع معادله(1-2) نقطه شروع مفهوم انرژي نقطه صفر بود. پس از آن در سال 1913 اينشتين و استرن با به کار بردن مفهوم انرژي نقطه صفر توجيه جديدي براي طيف پلانک ارائه کردند. از نظر تجربي کار مورليکن در سال 1924 اولين دليل قاطع بر لزوم وجود انرژي نقطه صفر بود. او با بررسي طيف و نشان داد که نتايج تجربي قابل توجيه نيستند، مگر اين که براي تراز n ام انرژي ارتعاشي نوسان گر با بسامد زاويه اي ω داشته باشيم:

(1-4) تصحيحات غير هماهنگ

در سال 1926 بورن، هايزنبرگ و جوردان اولين نظريه کوانتومي ميدان الکترومغناطيسي آزاد را ارائه کردند که در آن انرژي نقطه صفر پيش بيني شده بود. پس از آن توجيه اثر لمب، ناهنجاري ممان مغناطيسي الکترون، ظرفيت گرمايي جامدات و ... که هر کدام لااقل تا حدودي به ميدان خلاء وابسته هستند، مفهوم انرژي نقطه صفر را در فيزيک تثبيت کرد[6].

 

1-2 نيروهاي وان در والس

به منظور توجيه رفتار گازها، در سال 1873 وان در والس معادله حالت زير را پيشنهاد کرد:

(1-5)

واندروالس ثابت b را به عنوان حجمي که مولکول ها اشغال مي کنند تعبير کرد و ثابت a را به يک نيروي جذبي اتم ها ربط داد. در اولين بررسي، وان در والس پتانسيل بر هم کنشي اتم را به صورت پيشنهاد کرد که در آن r فاصله دو اتم و A و B دو ثابت هستند.

چندي بعد کيسام براي دو مولکول قطبي با ممان دو قطبي الکتريکي ثابت که در فاصله r از هم و در تماس با منبع گرمايي به دماي T هستند، انرژي پتانسيل زیر را به دست آورد:

(1-6)

دباي و ديگران متوجه شدند که در بسياري از گازهايي که مولکول هاي غيرقطبي دارند ثابت واندر والس مخالف صفر است. هم چنين دباي به اين نکته پي برد که بسياري مولکولها يک ممان چهارقطبي دارند که مي توانند يک دو قطبي در مولکول ديگر القاء کند. بر همکنش چهار قطبي- دو قطبي مستقل از دما است[6]. به هر حال هيچ کدام از اين حالت ها براي توجيه مقادير ثابت هاي واندر والس کافي نبودند.

لاندن [7] در سال 1930 با استفاده از نظريه اختلال کوانتومي، پتانسيل زیر را به دست آورد:

(1-7)

 

که فرکانس گذار بين حالت پايه و اولين حالت برانگيخته اتم است و α قطبش پذيري اتم است. حال مي خواهيم منشاء نيروي وان در والس را بيابيم و نشان دهيم که مي توان نيروي واندر والس- لاندن را به انرژي نقطه صفر ربط داد. براي اتم A در مکان x_A با قطبش پذيري مي توان انرژي قطبيدگي ω_A را با جمع روي سهم مدهايي با ميدان الکتريکي E، قطبش λ و بردار موج k، به دست آورد:

(1-8)

فرض مي کنيم ميداني که بر A عمل مي کند شامل ميدان مولکول B و ميدان خلاء کوانتومي است. اگرچه دو قطبي مولکول B مقدار متوسطي برابر صفر دارد ولي در هر لحظه صفر نيست بلکه حول مقدار صفر افت و خيز مي کند. ميداني که دو قطبي مولکول قطبش پذير B را مي سازد همان ميدان خلاء است. محاسبه نشان مي دهد که در فواصل کوتاه به انرژي پتانسيل لاندن مي رسيم:

(1-9)

و در فواصل بلند به انرژي پتانسيل کازيمير- پولدر مي رسيم:

(1-10)

که در آن r فاصله دو اتم قطبش پذيري آنها و بسامد گذار بين حالت پايه و اولين حالت برانگيخته اتم است. در هر دو حالت برهمکنش وان در والس را مي شود نتيجه ميدان افت و خيز کننده خلاء الکترومغناطيسي دانست[8].

ميدان خلاء يک دو قطبي در اتم ها القا مي کند و دو قطبي ها با هم بر کنش مي کنند. اين نتيجه اي است که کازيمير و پولدر در حين مطالعه کلوئيدها، که نيروي واندر والس در پايداري آنها نقش اساسي دارد، به دست آوردند. آنها در پايان مقاله خود[9] نوشتند که صورت ساده عبارت بالا ممکن است با روشي ساده تر از روش اختلال کوانتومي به دست آيد. آنها مسئله بر هم کنش يک اتم با يک صفحه فلزي در فاصله d را در نظر گرفتند و به دست آوردند که در فواصل نزديک پتانسيل بر هم کنش U به صورت زير رفتار مي کند:

(1-11)

و در فواصل دور به صورت زير تغيير مي کند:

(1-12)

حال اگر دو اتم همديگر را جذب کنند انتظار مي رود که دو دي الکتريک نيز همديگر را جذب کنند. محاسبه اي براساس بر هم کنش هاي دوتايي بين اتم ها حدود 80 درصد نيرويي را که امروزه به نام نيروي کازيمير مي شناسيم را نتيجه مي دهد. حلي که کازيمير ارائه داد در واقع تبديل يک مسئله چند جسمي به يک مسئله ميدان الکتروديناميک کوانتومي بودکه در آن ماده نقش ايجاد شرط مرزي براي ميدان کوانتومي را داراست.

1-3 مفهوم نيروي کازيمير

گرچه در نگاه اول نيروي کازيمير غامض به نظر مي رسد، اما در حقيقت به خوبي قابل فهم است.همه ميدان ها، خصوصاً ميدان هاي الکترومغناطيسي افت و خيز مي کنند. به عبارت ديگر در هر لحظه مقدار حقيقي آنها حول مقدار ثابتي يعني مقدار متوسط آنها افت و خيز مي کند. حتي يک خلاء کامل در صفر مطلق داراي ميدان هاي متغيري موسوم به نوسانات خلاء است که انرژي متوسط آنها متناسب با نصف انرژي يک فوتون است.

نوسانات خلاء نتايج قابل مشاهده اي دارند که به طور مستقيم در آزمايشهاي در مقياس ميکروسکوپي قابل مشاهده اند. براي مثال يک اتم براي مدت بي نهايت طولاني نمي تواند در حالت برانگيخته باقي بماند و مي تواند با انتشار يک فوتون به صورت خود به خود به حالت پايه اش باز گردد. اين پديده نتيجه اي از نوسانات خلاء است.

نيروي کازيمير، مشهورترين اثر مکانيکي نوسانات خلاء است[10]. اگر به طور فرض در دو آينه، فضاي بين دو صفحه آينه ها را به عنوان يک حفره در نظر بگيريم، تمام ميدان مغناطيسي داراي طيف مشخصه اي هستند که شامل بسامد هاي متفاوتي است. تمام اين بسامد ها در خلاء کامل از اهميت يکساني برخوردار هستند. اما در داخل حفره، يعني جائي که ميدان بين آينه ها به عقب و جلو بازتاب مي کند وضعيت متفاوت مي شود.

اگر مضرب صحيحي از نصف طول موج بتواند دقيقاً در داحل حفره قرار گيرد ميدان آن موج تقويت خواهد شد. اين ميدان در طول موجهاي ديگر به وضوح تضعيف مي شود. نوسانات خلاء برحسب اينکه بسامد آنها با بسامد تشديد حفره مطابق باشد يا نه، تقويت يا تضعيف مي شوند.

يک کميت مهم فيزيک در بحث نيروي کازيمير فشار تابش ميدان است. هر ميدان حتي خلاء نيز با خود انرژي حمل مي کند. تمام ميدان هاي الکترومغناطيسي مي توانند در فضا منتشر شوند و روي سطوح فشار وارد کنند. اين فشار تابش با انرژي و در نتيجه با بسامد ميدان الکترو مغناطيسي افزايش مي يابد. در بسامد تشديد (رزونانس) حفره، فشار تابش داخل حفره از بيرون آن قوي تر است و بنابراين آينه ها يکديگر را به عقب مي رانند. برعکس در غير حالت تشديد، فشار تابش داخل حفره کوچک تر از بيرون است و آينه ها به طرف يکديگر جذب مي شوند.ثابت مي شود که در حالت تعادل، مولفه هاي جاذبه کمي قوي تر از مولفه هاي دافعه هستند. بنابراين براي دو آيينه تخت کاملاً موازي نيروي کازيمير جاذبه است.

 

1-4 نيروي کازيمير

همان طور که گفته شد ميدان الکترومغناطيسي کوانتومي هم داراي انرژي نقطه صفر است. اين انرژي نقطه صفر منشاء نيروي کازيمير است.

در سال 1948، کازيمير که در آزمايشگاه تحقيقاتي فيليپس بر روي خواص محلول هاي کلوئيدي مطالعه مي کرد، سعي کرد براي نيروهاي وان در والس که عامل پايداري کلوئيدها است تعبير فيزيکي ارائه دهد. کازيمير پيش بيني کرد که دو صفحه فلزي موازي که در خلاء قرار دارند همديگر را جذب مي کنند[1]. او مستقل و بي اطلاع از کارهاي ديگران به نقش اساسي ميدان خلاء پي برد. بدين گونه که نيروي جاذبه بين اتم ها و مولکول هاي خنثي به وسيله نيروهاي وان در والس توصيف مي شود[11]. در ضمن نيروي بين ذرات کلوئيدي نيروي بلند برد واندروالس است. کازيمير و همکارانش متوجه شدند که تئوري واندر والس به تنهايي نمي تواند نتايج آزمايشگاهي را توجيه کند. بر اين اساس در سال 1948 کازيمير و پولدر نشان دادند که براي اين که نيروي دو اتم به درستي شرح داده شود بايد محدود بودن سرعت نور در نظر گرفته شود[9].

در همان سال کازيمير نشان داد نيروي بين دو صفحه فلزي با ابعاد جانبي بي نهايت را که در خلاء کوانتومي قرار دارند مي توان برحسب افت و خيزهاي ميدان الکترومغناطيسي کوانتومي بيان کرد.

کازيمير به اين نتيجه پي برد كه گرچه انرژي خلاء هم در فضاي آزاد و هم با حضور دو مرز فلزي، بي نهايت است، اما تفاضل اين دو مقدار متناهي است. به عبارت ديگر مقدار انرژي را که صرف آوردن يک صفحه به مساحت L² از فاصله بي نهايت دور به فاصله متناهي d از يک صفحه ديگر مي شود، متناهي است و برابر است با:

(1-13)

به عبارت ديگر نيروي وارد بر واحد سطح صفحات برابر است با:

(1-14)

در رابطه (1-13)، d فاصله بين دو صفحه، ثابت پلانک تقسيم بر π2 و c سرعت نور است.به هر حال اثرات کازيمير نشان دهنده ماکروسکوپيک نيروهاي وان در والس هستند که خود همين نيروها براساس تغيير انرژي نقطه صفر ميدان الکترومغناطيسي در حضور ماده قابل تعبير هستند.

 1-5 رهيافت هاي نيروي کازيمير

از آن جا که صفحه ها در خلاء کوانتومي الکترومغناطيسي قرار دارند براي به دست آوردن نيروي کازيمير، ابتدا لازم است ميدان الکترومغناطيسي را کوانتيده کنيم.جزئيات در فصل سوم آمده است.